ФРАГМЕНТ ИЗ КНИГИ ПО ИСТОРИИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Наука счета прежде всего начала развиваться в итальянских городах, в Генуе и Венеции, Флоренции, Пизе, Милане. Италия была как бы передовым форпостом Европы в Средиземноморье; две морские республики, Генуя и Венеция, торговали с арабами и турками, а временами сходились с ними в смертельных битвах, большей частью на море, и корабли противников уже несли орудия. Не одна лишь торговля нуждалась в математике, но также навигация, артиллерийское дело, фортификация, инженерия, землемерие, прокладка дорог. Эти потребности возникли и в богатых городах Центральной Европы, в Праге, Вене, Нюрнберге, во Франции, Испании, а затем в Англии. Еще не было научных центров, подобных нашим академиям и институтам, но уже множились университеты, и одним из самых старейших в Италии и самых знаменитых считался университет в Болонье, основанный в 1088 году.

Типичной фигурой для этого периода был Лука Пачоли (1445-1514 гг.), профессор университета в Перудже, а затем - в Милане и Болонье, который составил энциклопедический труд "Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях", содержащий полное изложение математических дисциплин, известных к тому времени - арифметики, геометрии, алгебры и тригонометрии. Книга была опубликована в Венеции в 1494 г. и, с появлением печатного станка, неоднократно издавалась на протяжении всего XVI века. Уровень этого сочинения был очень высок, книга содержала комментарии и пояснительные примеры, и к тому же Пачоли написал ее не на латыни, а на итальянском языке, с использованием арабских цифр. Это окончательно ввело в оборот индийско-арабские счетную систему, ибо Пачоли пользовался среди математиков огромным авторитетом.

В его трактате рассматривались уравнения второй и третьей степеней, но относительно последних вывод Пачоли был пессимистичен. Он писал, что для решения кубических уравнений "искусством алгебры еще не дан способ, как не дан способ квадратуры круга".

Фактически мнение Пачоли стало вызовом мастерству и уму итальянских математиков, и этот вызов был принят: Сципион дель Ферро (1465-1526 гг.), профессор университета в Болонье, нашел решения кубических уравнений частного вида. Пожалуй, это событие является центральным в истории средневековой математики, ибо впервые был получен важный результат, превосходящий знания, унаследованные от греков и арабов. Работу дель Ферро можно считать достижением порога, означавшего, что математика в Европе - или, по крайней мере, в Италии - возродилась в объеме, известном в древности, и теперь сделан новый шаг, открыто то, чего греки не знали. В этом состоит историческое значение события, но случившееся в дальнейшем дополнило открытие дель Ферро рядом драматических подробностей. Их участники: венецианский мастер счета Николо Тарталья, известный математик и врач Джероламо Кардано и его ученик Луиджи Феррари.

В описываемое время существовал обычай диспута, в ходе которого противники отстаивали свою точку зрения на некий вопрос. Диспут мог касаться богословских тем и быть публичным - именно в таком диспуте пытался отстоять свое мнение чешский подвижник Ян Гус. Этот диспут происходил в 1415 году в Констанце, перед лицом императора Сигизмунда и высшего католического духовенства, и завершился трагически - Гуса сожгли на костре. Но в иных случаях спор мог касаться логики, математики и прочих мирских тем, и его участникам не грозили костер или плаха. Среди математиков была принята форма заочного спора или поединка, когда стороны предлагали друг другу набор задач для решения, и побеждал тот, кому удавалось справиться с большим числом заданий. Такой турнир обставлялся рядом формальностей: задачи вручались через юристов, на решение отводилось несколько недель, ответы тоже направляли юристам, а через их посредство - компетентной комиссии. Присутствовал ли в таких поединках финансовый интерес?.. Возможно, но чаще речь шла о престиже. Победитель турнира мог не только унизить противника, но и надеяться на выгодные заказы и даже на хорошую должность в одном из богатыхгородов или при знатной персоне. Это вело к конкретному результату: свои приемы и достижения математики держали в тайне.

Сципион дель Ферро тоже не разгласил свой способ решения, доверив его только своему зятю Аннибалу делла Наве и ученику Антонио Марио Фиоре. Когда дель Ферро скончался, Нава унаследовал его кафедру, а Фиоре, не блиставший математическим талантом, решил прославиться за счет покойного учителя. В 1535 г. он вызвал на поединок Николо Тарталью, известного венецианского мастера счета, имевшего репутацию блестящего математика. Задачи, предложенные соперникам, являлись кубическими уравнениями частного вида, и Тарталья, помня мнение Луки Пачоли, полагал, что решить их невозможно. День передачи решения юристам уже близился, когда до Тартальи дошли слухи, что Фиоре располагает таинственным алгоритмом, созданным дель Ферро. Проигрывать Тарталья не собирался и за оставшееся время нашел свой метод решения, после чего справился с тридцатью задачами за два часа. Фиоре не решил ни одной. В те времена привычный для нас алгебраический формализм еще не существовал, что делало использование любого, даже знакомого алгорится сложной проблемой. Требовалось понимать его суть и смысл - и, вероятно, столь глубокие знания у Фиоре отсутствовали.

Тарталья, он же - Николо Фонтане (около 1499-1557 гг.), родился в Брешии (Северная Ломбардия), в бедной семье конного почтальона Фонтане. В детстве, когда Брешия была захвачена французской армией, какой-то солдат из числа оккупантов ранил мальчику язык или гортань. Николо выжил, но с тех пор говорил с трудом, за что и удостоился прозвища "Тарталья" - "заика". Из-за финансовых проблем он не смог закончить школу, но, имея большие способности к математике, занимался самостоятельно и настолько овладел предметом, что стал известным мастером счета. В 1534 г., перебравшись в Венецию, он тесно общается с инженерами и артиллеристами венецианского арсенала, что подвигло его к решению ряда практических задач. Когда он принял вызов Фиоре (1535 г.), его уже называли венецианским мастером счета. Тарталья опубликовал несколько книг - оригинальные трактаты "Новая наука" (1537 г.), "Проблемы и различные изобретения" (1546 г.), переводы на итальянский трудов Архимеда и Евклида с подробными комментариями. Он безусловно являлся талантливым математиком, но его характер оставлял желать лучшего. Вот отзывы современников: "Этот человек по натуре своей был так склонен говорить только дурное, что хуля кого-либо считал, что дает ему лестный отзыв"; "Он временами бывал так возбужден, что казался умалишенным". Тяжба с Кардано не принесла Тарталье ни славы, ни успехов, но укрепила мнение о нем как о человеке неуравновешенном. В 1548 г. его пригласили читать лекции по математике в Брешии, но там он не удержался и вернулся в Венецию, где и умер, не дождавшись выхода своего последнего сочинения - "Общего трактата о числе и мере". Сведения о кубических уравнениях в этой книге очень скудны.

Соревнование Тартальи с Фиоре получило широкую огласку, и в "компетентных кругах", как мы сказали бы сейчас, стало известно, что Тарталья владеет методом решения кубических уравнений частного вида. Несмотря на просьбы раскрыть свой метод, он держит его в тайне, отделываясь туманными упоминаниями насчет трактата, который когда-нибудь будет им написан. Однако один из просителей был особенно настойчив - Джероламо Кардано, неутомимый сочинитель книг на всевозможные темы, от математики до этики, философии и толкования снов. Этот человек даже из собственных слабостей стремился извлечь пользу для науки - так, будучи заядлым игроком, он написал "Книгу об игре в кости" (1526 г.), положившую начало теории вероятностей. К 1539 году Кардано планировал закончить свой первый математический труд "Практика общей арифметики", который было очень желательно украсить агоритмом Тартальи. Он посылает к нему посредника, но ответ упрямого мастера счета таков: "Передайте его светлости, чтобы он простил меня, но если я захочу опубликовать свое открытие, то я сделаю это в моем собственном труде, а не в книге другого".

Начались долгие переговоры. Кардано просит сообщить решения тридцати задач, предложенных Фиоре, - Тарталья отказывается. Кардано посылает ему семь других задач - Тарталья не желает ими заниматься. Наконец Кардано приглашает Тарталью к себе в Милан, обещает пустить в ход свои связи в Ломбардии и представить венецианского мастера знатным персонам. Это соблазняет Тарталью - вероятно, ему нужны покровительство, деньги и хорошая должность. 22 марта 1539 года они встречаются в доме Кардано, ведут переговоры, и Тарталья дает себя уговорить - при условии, что его метод не будет обнародован. Способ решения уравнений излагается им в форме латинского стихотворения, и это только способ, и ничего более - никаких доказательств, никаких намеков на вывод алгоритма. При отсутствии современной алгебраической символики понять, что означает этот стих, было совсем не просто. Так что в книге Кардано "Практика общей арифметики", вышедшей в мае 1539 г., об этом ничего не говорится.

Потребовались годы, чтобы разобраться с методом Тартальи и продвинуться дальше, к решению кубического уравнения более общего вида, корни которого выражаются формулой, названной именем Кардано. В этой работе Кардано имел великолепного помощника - своего преданного ученика Луиджи Феррари (1522-1565 гг.). Феррари, которому в те годы было около двадцати лет, был юношей феноменальных математических талантов; он не только внес огромный вклад в работу Кардано, но также нашел способ решения уравнения четвертой степени.

Кубическое уравнение было изучено Кардано и Феррари со всей тщательностью. Они установили, что уравнение может иметь либо три действительных корня, либо один - в последнем случае, как выяснят алгебраисты будущих времен, имеется еще пара сопряженных комплексных корней. Понятий об отрицательных и комплексных числах еще не имелось, и Кардано называет первые "чисто ложными", а вторые - "поистине софистическими". Такие замечательные результаты, намного превосходившие сделанное Тартальей, нуждались в публикации, и Кардано выпускает в 1545 г. новый трактат "Великое искусство или о правилах алгебры". В нем сообщается все, что известно автору о кубических уравнениях, и при этом отмечены приоритет Тартальи и заслуги Луиджи Феррари. Тарталья, посчитав, что Кардано нарушил клятву, обрушивается на него с бранью и упреками. Кардано не отвечает, и на защиту учителя становится Феррари. Их переписка с взаимными обвинениями длится около двух лет, и наконец Феррари вызывает Тарталью на публичный диспут. Он состоялся в 1548 г. в Милане, в присутствии знатных особ, и похоже, что косноязычный Тарталья потерпел сокрушительное поражение.

О Кардано (1501-1576 гг.). Он был незаконнорожденным сыном известного в Павии юриста Фацио Кардано. Но даже при таком сомнительном происхождении в социальном смысле он стоял много выше Тартальи, выходца из простонародья. Кардано получил медицинское образование и сделался весьма умелым и удачливым врачом, что укрепило его связи с рядом знатных особ. Он, как нередко случалось в эпоху Возрождения, являлся ученым-энциклопедистом, написал огромное количество книг, занимался медицинскими исследованиями, математикой (к которой имел несомненный талант), астрологией (его услугами астролога пользовался даже римский папа), инженерией и конструированием механизмов. Как человек он был далеко не безупречен - отличался вспыльчивостью, суеверием и тщеславием, всячески стремился обессмертить свое имя (что ему вполне удалось), играл в азартные игры, временами попадая в очень неприятные ситуации. Он не ответил на претензии Тартальи, возложив защиту от его нападок на своего ученика Феррари. В личной жизни Кардано был несчастлив - рано потерял супругу, его сын Джамбаттиста был казнен (отравил из ревности жену), другой сын сделался бродягой, а сам Кардано на склоне лет, в 1570 г., попал в тюрьму и его имущество было конфисковано (причина не известна, но подозрение падает на инквизицию). Остаток жизни он провел в Риме, существуя на скромную пенсию от папы. В последние годы он написал свою подробную автобиографию - "О моей жизни"; эта книга стала выдающимся литературным памятником эпохи, созданным одним из умнейших людей итальянского Возрождения.

Изложенная выше история полна темных мест. Кардано был готов представить Тарталью знатным покровителям, но Тарталья этим не воспользовался - почему?.. Тарталья обещал написать трактат о своих открытиях, но этого не сделал - почему?.. Алгоритм Тартальи, как было установлено в последствии, точно повторяет решение Сципиона дель Ферро - почему?.. Что именно сообщил Тарталья Кардано и какими клятвами его обязал?.. Эти вопросы остаются без ответа. Интерес к изложенной выше научно-детективной истории пробудился в начале XIX века, когда Тарталья был почти забыт. Дискуссия об истинном авторе формулы Кардано тянулась много десятилетий, перешла в популярную литературу и не привела ни к какому результату. Одни авторы считают, что Кардано похитил открытие у Тартальи, другие - что он разработал более общий метод решения, названный его именем по праву. Мнение Лейбница по данному поводу таково: "Кардано был великим человеком при всех его недостатках; без них он был бы совершенством".