Михаил Ахманов

О новой книге, посвященной проблемам хаоса и фрактальной геометрии: С.Л.Деменок "Просто фрактал"

Двадцатый век завершился, и настало время подвести его итоги и поговорить о чудесах. Разумеется, не того сорта, что предлагают шарлатаны-экстрасенсы и адепты сомнительной торсионной физики, а о настоящих научных чудесах. Есть такая отрасль знания, которая в принципе не терпит фальсификаций и шарлатанства - это математика, самая строгая из всех наук, изобретенных человечеством. Строгая, даже суровая, но отнюдь не чуждая романтики и самых ярких проявлений гениальности.

Итак, двадцатое столетие завершилось. Как можно было бы его назвать? На слуху часто два определения: атомный век, космический век - но, если вдуматься, оба они неверны. Наши успехи в освоении космоса не очень впечатляют; прошло более пятидесяти лет с полета Гагарина, но нет ни научной станции на Луне, ни корабля, способного унести людей к Венере и Марсу, ни орбитальных поселений, "эфирных городов" Циолковского. Кое-что мы получили - навигацию, наблюдения за погодой, связь через спутники, и это совсем немало. Немало, но и не очень много, если вспомнить ожидания шестидесятых-семидесятых годов, когда не только писатели-фантасты, но и серьезные ученые толковали о скором освоении других планет. Но - увы! - мы, земляне, пока что не космическая раса.

Прогресс в атомных технологиях тоже не слишком велик. Самые впечатляющие эффекты относятся к применению атомного оружия, авариям на энергостанциях и субмаринах, и эти истории "от Хиросимы до Фукусимы", как выразился автор одноименной книги В.Сливяк, носят безусловно негативный характер. Что до позитива, то здесь нет глобальных достижений - имеются атомные энергоблоки, весьма опасные в эксплуатации, но получение энергии более эффективным и "чистым" способом, при помощи термоядерной установки, остается неосуществленной мечтой. Хотя со времен первых токамаков прошло больше лет, чем с полета Гагарина.

Безусловно, двадцатый век был веком электричества, радикально изменившего промышленное производство, транспорт, связь и быт миллиардов людей. Но, переступив порог нового века, мы обычно вспоминаем достижения последних двадцати-тридцати, максимум пятидесяти лет - то, чему мы были живыми свидетелями. Космонавтика и атомная энергетика?.. Отнюдь нет, при всей важности этих дисциплин в научном и практическом смыслах. Мы наблюдали и наблюдаем по сию пору другое, более мощное, более глобальное явление - информационный взрыв. Стоит припомнить, что первые электронно-вычислительные машины (ЭВМ), созданные в сороковых-пятидесятых годах, являются ровестниками начала атомных проектов и полетов в космос, но, в отличие от того и другого, прогресс в этой сфере воистину потрясает. Некогда ламповая или полупроводниковая ЭВМ занимала помещение площадью метров пятьдесят, ее обслуживал десяток инженеров и техников, на ней решались сугубо математические задачи, и, конечно, такая установка принадлежала не частному лицу, а научной, военной или промышленной организации. Но этот электронный монстр стремительно прогрессировал, и теперь мы держим на ладони компьютер неизмеримо большей мощности, чем те первые М-20, БЭСМ-6, "Минск", "Эниак", "Юнивак", "Марк-1". Этот маленький компьютер умеет не только считать, но также обеспечивает связь, фиксирует изображения, позволяет читать книги и смотреть фильмы. Впечатляющий рывок, занявший всего половину века! Скачок в габаритах на три-четыре порядка, скачок в разнообразии функций, в простоте производства и обслуживания и, разумеется, в цене. Нет термоядерной энергостанции, нет поселений на Луне и флота космических кораблей, но есть небольшое устройство, компьютер-телефон-видеокамера-библиотека, и цена ему в твердой валюте долларов пятьсот. Если без изысков, можно купить и дешевле.

Не атомным и не космическим был двадцатый век, но информационным. Век компьютеров, век связи, век не знающей границ фантомной среды, всемирной паутины, получившей название интернет. Этот невиданно быстрый прогресс породил множество мифов. Вот один из них: в начале пятидесятых в штате Нью Мексико якобы потерпели крушение инопланетные космические аппараты. Эти НЛО, вместе с останками экипажей, перевезли на военную авиабазу Райт-Паттерсон в секретное хранилище "Ангар 18" и подвергли тщательному изучению. Все "инопланетные тайны" раскрыть не удалось, но кое в чем успех был достигнут - в частности, в исследовании материалов с необычными свойствами, которые можно использовать в информационных технологиях. Эти сведения будто бы обеспечили упомянутый выше бурный прогресс.

Забавная байка, но если отвлечься от сказочных историй, реальность преподнесет более интригующие факты, почти неизвестные широкой публике. Дело в том, что в конце минувшего века в ряде отраслей знания, начиная от физики и биологии и кончая экономикой и общественными науками, сформировался новый взгляд на мир. Суть его в следующем. Прежде в расчетах сложных систем - например, волновых функций атомов, молекул и твердых тел - физики стремились описать изучаемый объект с помощью системы линейных уравнений. Для этого использовались различные аппроксимации, разложения в функциональные ряды и т.д., а смысл такой упрощенной модели состоял в том, что линейную систему, пусть даже очень высокого порядка, можно решить. Но природа принципиально "нелинейна", и мы видим это на каждом шагу. Течение жидкости и движение воздушных масс не ламинарны, а, скорее, турбулентны; поверхности твердых тел не идеально гладкие, а шероховатые; листья, камни, снежинки, облака имеют выпуклости и вмятины, завитки, усики, шипы; погодные явления, взлеты и спады в экономике, функционирование живых организмов не описываются простыми циклическими процессами. Эти явления, как и великое множество других, хаотичны, и их зримым символом может служить флаг, который беспорядочно развевается на ветру. Более тонкое и точное их описание требует иных средств, чем линейная аппроксимация, и эти средства появились: фрактальная геометрия и нелинейная динамика, то есть теория хаоса.

Я не буду касаться истории вопроса, так как она изложена в книге С.Л.Деменока и в других изданиях - например, в книге Дж.Глейка "Хаос. Создание новой науки". Остановлюсь на самом понятии "фрактал". В простейшем случае это геометрический объект с эффектом самоподобия, внутренняя структура которого состоит из фрагментов, повторяющих в уменьшающемся масштабе исходную форму. Представим, что перед нами некий узор, имеющий вид завитка. Изучая его детальнее, мы выясним, что он слагается из таких же завитков, но меньшего размера; эти малые завитки состоят из еще более меньших, меньшие - из крохотных, и так далее. Автор книги "Просто фрактал" пишет: "Где повторение, там и магия. Завораживающие, затягивающие внимание фрактальные формы повторяются в результате многократного повтора одного и того же алгоритма". И правда, магии хватает - чего стоит только одна терминология! Человек, хотя бы понаслышке знакомый с высшей математикой, вспомнит про интеграл, дифференциал, производную, но в данном случае объекты другие, с воистину чарующими названиями: пыль Кантора, снежинки Коха, коврики и салфетки Серпинского, "кривая дракона", "обезьянье дерево".

Взгляните на эти восхитительные формы, которые приводятся на страницах книги. Только современные компьютеры позволили получить их в явном виде, и в этом смысле фрактальная геометрия тоже является детищем информационного взрыва. С.Л.Деменок пишет о том, что некоторые гении прошлого интуитивно ощущали фрактальность мира, что отразилось в их творениях, полотнах Леонардо да Винчи, гравюрах Эшера, музыке Баха. Но между интуитивным и осознанным разница немалая, по времени иногда это целый век или несколько веков, и только в нашу эпоху гениальные прозрения можно выразить в точных алгоритмах. Что, разумеется, связано с развитием информационных технологий.

Собственно, Бенуа Мандельброт, создатель фрактальной геометрии, именно этими технологиями и занимался. Одна из главных проблем, возникающих при передаче сигналов в электрических цепях - например, в телефонных линиях, соединяющих компьютеры - связана с искажением информации из-за шумов. Этот фактор, на первый взгляд совершенно случайный и хаотический, потребовал изучения искажающих информацию флуктуационных процессов. Работая в этой области (по заданию корпорации IBM), Мандельброт выяснил удивительную вещь: существует устойчивое отношение между промежутками "чистого" прохождения сигнала и периодами шумовых помех. С одной стороны, это позволило выбрать правильную стратегию создания "помехоустойчивых" алгоритмов, с другой, подвигло Мандельброта к дальнейшему исследованию хаотических процессов.

В этом он не был одинок, так как начиная с семидесятых годов прошлого века хаос и проблемы нелинейной динамики все чаще привлекали внимание ученых различных специальностей, математиков, физиков, биологов, физиологов, экономистов. В этой связи уместно вспомнить Митчела Файгенбаума, Стивена Смэйла, Джеймса Йорка, Джона Хаббарда и почившего недавно Эдварда Лоренца, который первым наблюдал "эффект бабочки". Данный феномен, возникший при компьютерном моделировании атмосферных процессов, был назван "странным аттрактором Лоренца", и его связь с фрактальной геометрией рассмотрена в соответствующем разделе книги.

Подведем итог сказанному выше. С одной стороны, компьютеры и информационные технологии позволили вторгнуться в доселе неведомую область, в хаос, и при этом выяснились удивительные вещи: то, что при ближайшем рассмотрении он не так уж хаотичен, и подобные явления можно в принципе анализировать; то, что нелинейные системы обладают несколькими устойчивыми состояниями; то, что поведение таких систем поддается прогнозированию; то, что фрактальность мира в равной степени питает науки и искусства, ибо узоры фракталов дают нам эстетическое удовольствие. С другой стороны, эта новая парадигма природы и творимых людьми артефактов бесспорно влияет на информационную науку - возможно, в большей степени, чем на другие отрасли знания. Информация, то есть упорядоченность, и хаос, мнимый беспорядок, две стороны одной медали, и на рубеже этих двух категорий, казалось бы столь противоположных, нас несомненно ждут чудесные открытия.

Мне остается добавить, что книга "Просто фрактал" написана Сергеем Леонидовичем Деменоком, математиком, который плодотворно работает в области фрактальной геометрии. Читатель найдет в ней массу интересного, связанного не только с фракталами и порождающими их алгоритмами, но и с историей этой науки, с ее творцами, гениями прошлого и нашими современниками. Несомненно, эта книга для пытливых умов, жаждущих истинных чудес, и я надеюсь, что таким читателям она доставит радость. Ибо что приятнее, чем познание нового?